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1 Notwendigkeit der Modelle
Durch steigende Anforderungen der Verkehrsplanung haben sich speziell in den letzten Jahren die Anforderungen an strategisch-prognostische Verkehrsnachfragemodelle kontinuierlich erhöht. Ein Hauptgrund dafür ist, dass integrierte Verkehrsplanungen immer größere Räume einschließen, was bedeutet, dass auch die Auswirkungen baulicher und verkehrstechnischer Maßnahmen auf die Verkehre in diesen größer werdenden Räumen abgebildet werden müssen. Diese Räume weisen naturgemäß eine stark heterogene Struktur auf, was ebenfalls komplexe Verkehrsnachfragestrukturen entstehen lässt. Somit ist eine Anwendung von hochwertigen Verkehrsnachfragemodellen unumgänglich.
Um diesen Anforderungen gerecht zu werden, existiert erwartungsgemäß ein äußerst breites Spektrum unterschiedlichster Theorien zur Abbildung der Verkehrsnachfrage. Die dabei häufig gebräuchlichen, nur produktions- oder attraktionsseitig (bzw. quell- oder zielseitig) fixierten Modelle, welche auf den entsprechend gegenüberliegenden Seiten „offen“, also nicht fixiert sind, beachten räumliche Restriktionen nur auf der fixierten Seite. Ein klassischer Vertreter ist z. B. ein produktionsseitig fixiertes Logit-Modell, welches die in der Verkehrserzeugung berechneten Attraktionsverkehrsaufkommen zwar als (zielseitige) Anziehungspotentiale nutzt, diese aber nicht direkt einhalten kann.
Formel (1) siehe PDF.
Bei der Anwendung eines o.g. Modells (siehe auch Bild 1) ist deutlich zu erkennen, dass die Produktions- und Attraktionsverkehrsaufkommen (Pi-Soll und Aj-Soll) aus der Verkehrserzeugung, durch die Fixierung innerhalb der Zielwahl nur auf der Produktionsseite (Pi-Ist) eingehalten werden. Das Attraktionsverkehrsaufkommen (Aj-Ist) weist eine teilweise sehr große Divergenz auf. (Dies ist beispielsweise in Bild 1 sehr gut in Verkehrszelle 1 zu erkennen.) Das in der Verkehrserzeugung berechnete Verkehrsaufkommen von 25 Ortsveränderungen steht im starken Gegensatz zu dem in der Zielwahl berechneten Verkehrsaufkommen von ca. 168 Ortsveränderungen. Dies begründet sich zum einen durch den sehr geringen Aufwand A zur Verkehrszelle 1, zum anderen durch das sehr geringe „Gewicht“ von 25 Ortsveränderungen auf der Attraktionsseite.
Bild 1: Aufwands- und Verkehrsstrommatrix eines produktionsseitig fixierten Logit-Modells (ß = 0,01)
Leider wird in der Praxis versucht den Abstand zwischen Aj-Ist und Aj-Soll über die Kalibrierung der Parameter zu minimieren. Dazu ist anzumerken, dass die Restriktion der Verkehrsaufkommen primär durch den Raum bestimmt ist und nicht durch das Verhalten der Verkehrsteilnehmer als Reaktion auf einen Aufwand.
Diese Modelltheorien gehen demnach davon aus, dass nur einseitige oder in anderen Fällen gar keine äußeren Restriktionen die Wahl des Individuums beeinflussen. Das Nichtvorhandensein von Restriktionen (auch Neben- bzw. Randsummenbedingungen genannt, da sich die Bedingungen auf die Produktions- und Attraktionsverkehrsaufkommen – also die Randsummen der Verkehrsstrommatrix – beziehen) erlaubt somit die Nutzenmaximierung des Verkehrsteilnehmers im offenen Entscheidungsraum. Allerdings entspricht dies nicht der realen Situation bzw. dem realen Verkehrsgeschehen! Denn im tatsächlichen Verkehrsgeschehen existieren entscheidende unterschiedliche Abhängigkeiten des Verkehrsaufkommens von produktions- und attraktionsseitigen Raumstrukturpotentialen, auch oft in Verknüpfung mit der Lagegunst.
2 Randsummenbedingungen in Zielwahlmodellen
Um das o. g. Problem zu lösen stellten KIRCHHOFF 1970, [2] und LOHSE 1997, [3], 1997, [4] 2006, [5] Modelle mit Neben- bzw. Randsummenbedingungen vor. SCHILLER 2006, [6], 2007, [7] stellte durch die Nutzung minimaler und maximaler Randsummenbedingungen (siehe Formel 2) eine allgemeine Form der von KIRCHHOFF und LOHSE beschriebenen Modelle vor.
Formel (2) siehe PDF.
Die Verkehrsströme bzw. Fahrten ergeben sich dabei aus den Bewertungen der Widerstände (z. B.: Reisezeit, (generalisierte) Kosten etc.) und den beschränkenden Randsummenbedingungen, welche über die Faktoren fpi und faj während der iterativen Lösung eingehalten werden. Durch die einzuhaltenden Randsummenbedingungen kommt, im Gegensatz zu Modellen ohne Randsummenbedingungen, zur Nutzenmaximierung eine beschränkende Auflage hinzu. Die Verkehrsteilnehmer streben zwar immer noch nach dem Nutzenmaximum, können es aber durch die einschränkenden Randsummenbedingungen nicht mehr im gleichen Maße erreichen. So versuchen die Verkehrsteilnehmer dem Nutzenmaximum möglichst nahe zu kommen und den entstehenden Nutzenverlust zu minimieren.
Das bedeutet, dass durch das konkurrierende Entscheidungsverhalten der Verkehrsteilnehmer die Matrix im Ereignisraum mit Randsummenbedingungen (Realisierung bei der a-posteriori-Bewertung der Verkehrsteilnehmer) von der Matrix im Ereignisraum ohne Randsummenbedingungen (Realisierung der a-priori-Bewertung der Verkehrsteilnehmer) geringstmöglich abweicht. Somit ist die Aussage möglich, dass die durch die bewerteten Alternativen bestimmten a-priori-Bewertungen der Verkehrsteilnehmer im Zusammenspiel mit den eingesetzten Randsummenbedingungen über die zulässige a-posteriori-Lösung der Verkehrsströme bestimmen.
Dadurch, dass die Verkehrsteilnehmer das Nutzenmaximum durch die einschränkenden Randsummenbedingungen nicht mehr im gleichen Maße erreichen können und trotzdem versuchen dem Nutzenmaximum möglichst nahe zu kommen bzw. den entstehenden Nutzenverlust zu minimieren versuchen, stellt der Bewertungs- und Entscheidungsvorgang der Verkehrsteilnehmer eine Minimierung des „Nutzenverlustes“ dar. Dieser „Nutzenverlust“ kann modelltheoretisch durch die Minimierung eines zu definierenden Abstandsmaßes zwischen zwei Zuständen a und ß nachgebildet werden. Die Informationstheorie stellt hierbei mit der Informationsgewinnminimierung eine adäquate Methode zur Verfügung, um den Nutzenverlust geringstmöglichst zu halten.
Formel (3) siehe PDF.
Die beiden Zustände a und ß können hierbei als der Startwert (die Bewertung der Widerstände Bij) und der Zielwert (die Verkehrsströme Fij unter Beachtung der Randsummenbedingungen) angenommen werden.
Formel (4) siehe PDF.
Hierbei bildet der beschriebene Modellansatz die unterschiedlichen Abhängigkeiten des Verkehrsaufkommens von produktions- oder attraktionsseitigen Raumstrukturpotentialen sowie der Lagegunst ab. Gleichzeitig kann der Ansatz alle bis dato bekannten Randsummenbedingungen berechnen, womit auch die oft notwendigen und sinnvollen Standard- und Sonderfälle innerhalb einer verhaltenshomogenen Personengruppe modelliert werden können.
Ein erster Standardfall ergibt sich bei räumlich nicht substituierbaren Pflicht-Aktivitäten (z. B.: Arbeit, Bildung), bei denen nicht unmittelbar das Aktivitätsziel verändert werden kann. Der Erwartungswert des entsprechenden Verkehrsaufkommens berechnet sich ausschließlich aus den maßgebenden Strukturgrößen. Die Lagegunst spielt für die Einhaltung der Randsumme keine Rolle. Es ergibt sich demnach eine Randsummenbedingung, bei der das innerhalb der Verkehrserzeugung berechnete Verkehrsaufkommen, während der Berechnung der Verkehrsverteilung als unelastisch anzunehmen und damit einzuhalten ist. Daraus ergibt sich auch der Fakt, dass die Produktionsseite stets als unelastische Randsummenbedingung betrachtet wird.
Formel (5) siehe PDF.
Beispiel 1: Zielwahlmodell mit beidseitig unelastischen Randsummenbedingung aus (5):
Bild 2: Startmatrix (Matrixinhalt: Bewertungen der Aufwände) im Beispiel 1
Bild 3: Startmatrix (Matrixinhalt: Verkehrsströme) im Beispiel 1
Um die Sicht auf das Beispiel 1 zu vereinfachen, soll für die Produktionszelle 1 der iterative Lösungsverlauf dargestellt werden. So ist in Bild 4 zu erkennen, wie der Lösungsalgorithmus, ausgehend von der Bewertung im Iterationsschritt 0, in jedem Schritt p den (Korrektur-)Faktor fp1 für den Iterationsschritt p+1 berechnet, um sich den Randsummenbedingungen zu nähern und diese letztendlich exakt zu erfüllen. (Eigentlich muss dies stets in Zusammenhang mit faj betrachtet werden, was allerdings zur Vereinfachung hier vernachlässigt werden soll.)
Bild 4: Iterativer Lösungsverlauf für Quellverkehrszelle 1 im Beispiel 1
Der zweite Standardfall entsteht, wenn im Gegensatz zu unelastischen Randsummenbedingungen sich bei substituierbaren Aktivitäten (z. B.: Einkaufen, Freizeit, Sonstiges) der Erwartungswert des Verkehrsaufkommens nicht mehr ausschließlich durch die maßgebenden Strukturgrößen ergibt. Daneben spielt die Lagegunst bei der Wahl konkurrierender Aktivitäten ebenfalls eine entscheidende Rolle. So lange das mit dem geringsten Aufwand zu erreichende Ziel noch nicht durch andere „konkurrierende“ Verkehrsteilnehmer ausgelastet ist, werden die Verkehrsteilnehmer dieses Ziel mit größerer Wahrscheinlichkeit auswählen. Bei Auslastung ändern sie ihre Zielwahl entsprechend. Die Verkehrserzeugung berechnet also in diesem Fall nur minimale und maximale Verkehrsaufkommen, die allerdings nicht ausgeschöpft werden müssen. Bei der Zielwahl werden die Verkehrsströme proportional zu den begrenzenden Verkehrsaufkommen und der Lagegunst berechnet. Dabei gilt jedoch die Nebenbedingung, dass bei der Berechnung der Verkehrsströme die maximalen Verkehrsaufkommen der Verkehrszellen nicht überschritten und die minimalen Verkehrsaufkommen nicht unterschritten werden dürfen.
Formel (6) siehe PDF.
Beispiel 2: Zielwahlmodell mit quellseitig unelastischen (aus (5)) und attraktionsseitig elastischen Randsummenbedingung (aus (6)):
Bild 5: Startmatrix (Matrixinhalt: Bewertungen der Aufwände) im Beispiel 2
Bild 6: Ergebnismatrix (Matrixinhalt: Verkehrsströme) im Beispiel 2
In Bild 6 ist sehr gut zu erkennen, wie die Verkehrszelle 2 auf Grund ihrer hohen Lagegunst bis zum max. Attraktionsverkehrsaufkommen ausgelastet wird. Eine Überschreitung dieses Maximums ist durch die Randsummenbedingungen nicht möglich. Verkehrsteilnehmer die eventl. dieses Ziel auch noch aufsuchen würden, müssen auf andere Ziele ausweichen.
Auch für dieses Beispiel soll zur Verdeutlichung der iterative Lösungsverlauf (mit der Bestimmung des (Korrektur-)Faktors fa1) für die Attraktionsverkehrszelle 1 dargestellt werden. So ist in Bild 7 zu erkennen, wie der Lösungsalgorithmus den (Korrektur-)Faktor fa1 berechnet, ohne die Randsummenbedingungen zu verletzen.
Bei Verwendung von elastischen Randsummenbedingungen ergibt sich das Verkehrsaufkommen aus den maßgebenden Strukturgrößen und der Lagegunst der konkurrierenden Aktivitäten. Demzufolge wählt ein Verkehrsteilnehmer so lange das lagegünstigste Ziel mit größerer Wahrscheinlichkeit aus, wie es durch andere Verkehrsteilnehmer noch nicht ausgelastet ist. Bei kompletter Auslastung oder Überlastung ändert sich seine Zielwahl.
3 Auslastungsabhängige Attraktivitäten
Allerdings können die im vorherigen Kapitel betrachteten Auslastungen auch als empfundene Auslastungen interpretiert werden und unterschiedliche Ausprägungen besitzen. Um diese Aussage zu verdeutlichen, sollen als Beispiel mehrere alternative Ziele existieren, wobei jedes dieser Ziele bis zu 100 % seiner Kapazität ausgelastet werden kann. Folgende Reaktionen auf die zunehmende Auslastung eines Zieles durch die Verkehrsteilnehmer können entstehen:
- Die erhöhten Warte- und Bedienungszeiten, die sich durch eine hohe Auslastung bedingen (beispielsweise bei 80 – 90 %), lassen das Ziel für den Kunden nicht unattraktiver als bei geringer Auslastung erscheinen. Das Ziel wird bei bestehender Nachfrage bis zu 100 % seiner Kapazität ausgefüllt, ohne dass sich bezüglich der Warte- und Bedienzeiten eine Nachfrageminderung ergibt. In diesem Fall existiert also keine auslastungsabhängige Attraktivitätsveränderung. Da eine Überschreitung der Kapazität nicht möglich ist, werden ab Erreichung der Kapazität von den Verkehrsteilnehmern je nach Lagegunst andere konkurrierende Ziele gewählt.
- Die erhöhten Warte- und Bedienungszeiten lassen das Ziel für den Kunden unattraktiver als bei geringerer Auslastung erscheinen. Die Verkehrsteilnehmer bewerten den der Ortsveränderung und einen zusätzlichen Aufwand am Ziel. Bei steigender Auslastung verringert sich die Lagegunst, aber auch die Attraktivität des Zieles. Andere konkurrierende Ziele gewinnen damit an Attraktivität.
Gerade der zweite Fall ist bei substituierbaren Aktivitäten sehr wichtig und nicht zu vernachlässigen. In diesem Fall existiert bei einer Auslastungszunahme eine entsprechende Abnahme der Attraktivität, also eine auslastungsabhängige Attraktivitätsveränderung. Diese Verhaltensweise soll mit dem neuen Modellansatz abgebildet werden.
Aufbauend auf dem Beispiel 2, soll die Modellierung auslastungsabhängiger Attraktivitäten gezeigt werden. Speziell zur Vereinfachung werden produktionsseitig unelastische und nur attraktionsseitig elastische Randsummenbedingungen mit auslastungsabhängiger Attraktivität betrachtet. Aus dem dort verwendeten Grundmodell (2) entsteht bei der Modellierung auslastungsabhängiger Attraktivitäten folgende Form.
Hierbei ist gut zu erkennen, dass die Bewertung der Aufwände Bij von einer zusätzlichen Funktion abhängig ist, dem bereits erklärten zusätzlichen Aufwand an der Attraktion bj(Aj). Ebenso ist zu beachten, dass Formel (8) keine Randsummenbedingung des Gleichungssystems darstellt, sonders zur Ermittlung des iterationsschrittfeinen (in der Zielwahl zu bestimmenden) Attraktionsverkehrsaufkommens dient.
Infolgedessen wird eine „Elastizität“ der Bewertung bzw. eine auslastungsabhängige Attraktivität gegenüber einem wachsenden Attraktionsverkehrsaufkommen erreicht. Hierbei sei noch angemerkt, dass in der menschlichen Entscheidung tatsächlich ein Aggregat aus Bij und bj besteht, da der Verkehrsteilnehmer aus Erfahrungen einschätzen kann, wie stark eine potentielle Attraktion ausgelastet ist und somit den Aufwand zur Attraktion, als auch den Aufwand am Ziel (Attraktion) gemeinsam betrachtet. Innerhalb der Modellierung ist die Bewertung des Aufwandes zur Attraktion auch bekannt, jedoch nicht der Aufwand am Ziel, da das sich ergebende Attraktionsverkehrsaufkommen gerade erst innerhalb der Zielwahl berechnet wird. Somit kann auch erst der Faktor bj innerhalb der Zielwahl bestimmt werden. Dieser geht dann im Faktor faj mit auf.
Wiederum in Bezug auf Beispiel 2 vom Anfang des Artikels, lassen sich sehr gut die Unterschiede in der Berechnung aufzeigen. Im folgenden Beispiel 3 wird das Modell mit der Möglichkeit zur Abbildung der auslastungsabhängigen Attraktivität genutzt.
Allerdings wird der Parameter zur Abbildung der auslastungsabhängigen Attraktivität auf Null gesetzt. Somit wirkt keine (!) auslastungsabhängige Attraktivität und das Ergebnis der Berechnung ist richtiger Weise identisch mit dem Ergebnis aus Beispiel 2.
Wird in einem Beispiel 4 der Parameter a zur Quantifizierung der auslastungsabhängigen Attraktivität auf 0,1 gesetzt, sind deutlich die Unterschiede zu erkennen.
Das Attraktionsverkehrssaufkommen in Verkehrszelle 2 wird durch die auslastungsabhängige Attraktivität deutlich beeinflusst. Da die Verkehrszelle 2 in Beispiel 3 vollkommen ausgelastet war, was auf die sehr gute Lagegunst zurückzuführen ist, wirken jetzt die zusätzlichen Aufwände am Ziel und lassen diese Zelle unattraktiver erscheinen. Da keine anderen Zellen an die maximale Kapazität reichen, werden dafür diese Ziele in Abhängigkeit ihrer Aufnahmefähigkeit und ihrer Lagegunst entsprechend gewählt. Gleichzeitig ist an den Ergebnissen von Beispiel 3 und Beispiel 4 zu erkennen, dass die Berechnung der Zielwahl ohne auslastungsabhängige Attraktivität eigentlich nur ein Sonderfall der Berechnung mit auslastungsabhängiger Attraktivität ist. Dieser Sonderfall wird (wie gezeigt) durch den Parameter zur Quantifizierung der auslastungsabhängigen Attraktivität hervorgerufen.
Der vorgestellte Ansatz stellt somit die derzeit allgemeinste Form von Zielwahlmodellen dar, da er innerhalb eines einzigen Berechnungsansatzes durch die Verwendung von minimalen und maximalen Randsummenbedingungen alle relevanten räumlichen Restriktionen innerhalb einer verhaltenshomogenen Gruppe abbilden kann.
4 Literatur
[1] Ortúzar, J. DE D.; Willumsen, L. G. (2004): Modeling Transport, 3. Auflage, John Wiley & Sons Inc., Chichester u. a. O.
[2] KIRCHHOFF, P. (1970): Verkehrsverteilung mit Hilfe eines Systems bilinearer Gleichungen. Ein Beitrag zur Entwicklung von Verkehrsmodellen, Dissertation, TU Braunschweig, Braunschweig
[3] LOHSE D.; TEICHERT, H.; DUGGE, B.; BACHNER, G. (1997): Ermittlung von Verkehrsströmen mit n-linearen Gleichungssystemen. Schriftenreihe Heft 5, Institut für Verkehrsplanung und Straßenverkehr der TU Dresden, Dresden
[4] LOHSE, D. (1997): Grundlagen der Straßenverkehrstechnik und der Verkehrsplanung, Band 2: Verkehrsplanung, 2 Auflage, Verlag für Bauwesen GmbH, Berlin
[5] LOHSE, D.; SCHILLER, C.; TEICHERT, H. (2006): Das Verkehrsnachfragemodell EVA – Simultane Verkehrserzeugung, Verkehrsverteilung und Verkehrsaufteilung. In Straßenverkehrstechnik Heft 4/2006, S. 181-192, Kirschbaum-Verlag, Bonn
[6] SCHILLER, C. (2006): Gekoppelte Verkehrsnachfragemodelle - Ein grundlegendes Modell. In Straßenverkehrstechnik Heft 7/2006, Kirschbaum-Verlag, Bonn
[7] SCHILLER, C. (2007): Erweiterung der Verkehrsnachfragemodellierung um Aspekte der Raum- und Infrastrukturplanung. Schriftenreihe Heft 10, Institut für Verkehrsplanung und Straßenverkehr der TU Dresden, Dresden |
