Verkehrsflächen aus Beton unterliegen stets Einwirkungen aus Witterung und Verkehr. Diese erzeugen in den Betonplatten Biegemomente. Den einwirkenden Momenten (ME) steht das aufnehmbare Moment der Platte (MR) entgegen, das sich dominant aus den Parametern Deckendicke und Betonfestigkeit ableiten lässt. Für die rechnerische Dimensionierung von Betonfahrbahnplatten definiert sich die Grundbeziehung der Nachweisführung zu: ME < MR. Ein physikalischer Zusammenhang zwischen Betonfestigkeit und Deckendicke besteht nicht, jedoch ein Zusammenwirken, das sich in ihrem Einfluss auf das aufnehmbare Moment ausdrückt. Je größer dabei die Deckendicke und/oder die Festigkeit sind, desto größer ist das aufnehmbare Moment. Da beide streuende Größen sind, deren Verteilungen mittels Gaußscher Normalverteilung beschrieben werden können, ist je nach Streuung ein Vorhaltemaß zu bestimmen bzw. festzulegen. Geringere Streuungen der Festigkeit bzw. der Deckendicke führen zu kleineren erforderlichen Mittelwerten, um den 5 bzw. 10 %-Quantilwert in der Praxis einhalten zu können. Das wiederum führt zu geringeren Vorhaltemaßen und somit zu wirtschaftlichen Lösungen. Den RDO Beton liegt eine semiprobabilistische Verfahrensweise zugrunde. Diese enthalten Teilsicherheitsfaktoren, die aus bekannten Verteilungsfunktionen abgeleitet oder empirisch bestimmt wurden. Dabei wird die rechnerische Festigkeit als charakteristische Spaltzugfestigkeit beim 5 %-Quantilwert und die Deckendicke beim 10 %-Quantilwert festgelegt. Diese berechneten Werte sind in situ am Bauteil nachzuweisen. Ergeben sich am Bauteil größere Werte für die charakteristische Deckendicke und Betonfestigkeit als in der Dimensionierung berechnet, so ist der Vertrag aus Sicht der Dimensionierung erfüllt. Eine weitere Nachweisführung ist dann nicht notwendig. Zudem überlagern sich in der Praxis die Streuungen der Deckendicke und der Festigkeit. In einem probabilistischen System kann eine solche Überlagerung rechnerisch betrachtet und die Versagenswahrscheinlichkeit des Gesamtsystems noch besser bestimmt werden. Hierauf wird im Beitrag eingegangen.

Der Fachvortrag zur Veranstaltung ist im Volltext verfügbar. Das PDF enthält alle Bilder und Formeln.

1 Einleitung

Dauerhafte Betondecken müssen hinsichtlich ihrer mechanischen Eigenschaften den Belastungen aus Verkehr und Witterung Widerstand leisten.

Betrachtet man ein einzelnes Streckenlos, so kann man in einem ersten Ansatz davon ausgehen, dass seitens der widerstehenden mechanischen Größen die Randbedingungen wie die Art der Unterlage, die Plattengeometrie, die Verankerung und Verdübelung nahezu feste Größen sind bzw. deren Streuungen einen untergeordneten Einfluss ausüben.

Die Betonfestigkeit, ermittelt anhand der Spaltzugfestigkeit, und die Deckendicke sind hingegen die maßgebenden Einflussgrößen des Widerstandsmoments, und damit des aufnehmbaren Moments.

Sowohl in der Dimensionierung als auch in der Nachweisführung nach Herstellung sind diese beiden Größen genauer zu betrachten und in ihrem Zusammenwirken maßgeblich für die Dauerhaftigkeit der Decke verantwortlich. 

2 Zusammenwirken von Betonfestigkeit und Deckendicke

Wie bereits einleitend festgestellt, besteht kein physikalischer Zusammenhang zwischen Betonfestigkeit und Deckendicke. Das Zusammenwirken beider Größen wird deutlich, wenn man ihren Einfluss auf das aufnehmbare Moment betrachtet (siehe Gleichung 1). Im Bild 1 (links) ist die Abhängigkeit des aufnehmbaren Moments von der Deckendicke bei konstanter Spaltzugfestigkeit dargestellt, im Bild 1 (rechts) die Abhängigkeit des aufnehmbaren Moments von der Spaltzugfestigkeit bei konstanter Deckendicke.

Das Zusammenwirken besteht in der Veränderung des aufnehmbaren Moments:

M_R = 0,167 * h_d² * f_d           (1)

Es ist evident, dass:

– Je größer die Dicke, desto größer das aufnehmbare Moment.

– Je größer die Festigkeit (Spaltzugfestigkeit), desto größer das aufnehmbare Moment.

Die beiden Graphen im Bild 1 weisen jeweils den praxisnahen Bereich beider Größen auf der Abszisse aus.

Bild 1: Aufnehmbares Moment in Abhängigkeit von der Deckendicke bzw. der Festigkeit

Im semiprobabilistischen System nach den (RDO Beton 09, FGSV) kann das Zusammenwirken zwischen Betonfestigkeit und Deckendicke beispielhaft dargestellt werden, wenn alle anderen Randbedingungen konstant gehalten werden und somit ein konstantes Moment vorausgesetzt wird. Das Bild 2 zeigt den Kurvenverlauf für ein Beispiel mit einem konstanten Moment von 23,86 kNmm/mm. Aus dieser Grafik sind Wertepaare der Betonspaltzugfestigkeit und der Deckendicke ablesbar, die jeweils diesem konstanten Fall genügen würden.

Bild 2: Beispielhafte Wertepaare bei konstantem Moment 

3 Streuungen der Eingangsgrößen

Bei der Betonfestigkeit und bei der Deckendicke handelt es sich in praxi jeweils um streuende Größen, deren Häufigkeitsverteilungen betrachtet werden müssen. Im mathematischen Sinne sind es Zufallsgrößen, deren Streuung mit Verteilungsfunktionen beschrieben werden kann (Bild 3 und Gleichungen (2) und (3)).

Bild 3: Beschreibung der Zufallsgrößen durch Verteilungsfunktionen

Im Bild 4 sind typische Häufigkeitsverteilungen von Betonspaltzugfestigkeiten dargestellt. Die Streuung der Betonfestigkeit lässt sich gut mit einer Gaußschen Normalverteilung annähern, die durch Mittelwert und Standardabweichung vollständig beschrieben werden kann. Die Streuung der Betonfestigkeit kann dabei sehr unterschiedlich sein, so dass die Verwendung von Mittelwerten bei der rechnerischen Dimensionierung zu unsicher ist. Demzufolge wird rechnerisch im semiprobabilistischen Verfahren von einem 5 %-Quantilwert ausgegangen, so dass die Materialstreuungen statistisch gut abgesichert werden können. Für die Praxis bedeutet dies, dass bei bekannter geringer Streuung der Festigkeit ein geringerer und bei bekannter hoher Streuung der Festigkeit ein deutlich höherer Mittelwert der Festigkeit anvisiert werden muss.

Bild 4: Häufigkeitsverteilungen der Spaltzugfestigkeit

Das Bild 5 zeigt eine aus Praxisergebnissen ermittelte Häufigkeitsverteilung (blaue Kurve) der Spaltzugfestigkeit einer relativ großen Stichprobe (n = 325), die mit Hilfe eines Kerndichteschätzers erzeugt wurde. Die daraus resultierende angenäherte Gaußsche Normalverteilung ist rot dargestellt und es ist gut zu erkennen, dass die vorhandene Häufigkeitsverteilung hiermit sehr gut angenähert wurde.

Bild 5: Histogramm mit Kerndichteschätzer (Epanechniko-Kern)

Die nachfolgenden Gleichungen 4 und 5 zeigen die einfache Berechnung, die zur Verteilungsfunktion führt. Zur Ermittlung des 5 % Quantilwertes kann dann die (AL Sp-Beton 06, FGSV) herangezogen werden.

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Im Bild 6 ist beispielhaft eine Häufigkeitsverteilung der Deckendicke dargestellt. Die Streuungen der Deckendicke lässt sich ebenfalls gut mit einer Gaußschen Normalverteilung annähern. Auch bei der Deckendicke kann die Streuung sehr unterschiedlich sein, so dass die alleinige Verwendung von Mittelwerten bei der rechnerischen Dimensionierung zu unsicher ist. Demzufolge wird rechnerisch im semiprobabilistischen Verfahren von einem 10 % Quantilwert ausgegangen, so dass die Dickenstreuungen statistisch gut abgesichert werden können. Für die Praxis bedeutet dies, dass bei bekannter geringer Streuung der Deckendicke eine geringere und bei bekannter hoher Streuung der Deckendicke eine deutlich höhere mittlere Deckendicke angesteuert werden muss.

Bild 6: Gaußsche Normalverteilung einer Deckendicke

Das Bild 7 zeigt eine aus Praxisergebnissen ermittelte Häufigkeitsverteilung (blaue Kurve) der Deckendicke eines Bauloses einer relativ großen Stichprobe (n = 300), die mit Hilfe eines Kerndichteschätzers erzeugt wurde. Die daraus resultierende angenäherte Gaußsche Normalverteilung ist rot dargestellt und es ist gut zu erkennen, dass die vorhandene Häufigkeitsverteilung hiermit sehr gut angenähert wurde.

Bild 7: Histogramm mit Kerndichteschätzer (Epanechnikov-Kern)

Die Gleichungen 4 und 5 kommen analog auch bei der Ermittlung der Häufigkeitsverteilung für die Deckendicke zum Einsatz. Zur Ermittlung des 10 %-Quantilwertes kann dann die (AL DA 11, FGSV) herangezogen werden. 

4 Anwendung im klassischen VOB – Bauvertrag

Die zuvor beschriebene Verfahrensweise entspricht dem Verfahren der rechnerischen Dimensionierung gemäß (RDO Beton 09, FGSV). Zur Anwendung im klassischen VOB-Bauvertrag sind jedoch Regelungen erforderlich, da bislang Festigkeiten und Deckendicke nach anderen Kriterien geprüft und kontrolliert werden. Bei der Festigkeit kommt hinzu, dass die maßgebende Prüfgröße nicht mehr die nicht dimensionierungsrelevante Druckfestigkeit, sondern die Spalt-zugfestigkeit ist. Die wichtigsten Regeln sind in den „Empfehlungen für die Abwicklung von Bauverträgen bei Anwendung der RDO Beton“, 2011, FGSV aufgestellt worden. Das Bild 8 zeigt das Deckblatt und die Autorengruppe dieser Empfehlungen.

Bild 8: Deckblatt und Autorengruppe der Empfehlungen für die Abwicklung von Bauverträgen bei Anwendung der RDO Beton

Die maßgebenden Festlegungen lassen sich wie folgt wiedergeben:

Als Bedingung 1 ist ein Festigkeitsvergleich der Spaltzugfestigkeit zu führen, wobei:

– f_ctk.core(DIM) = Charakteristische Spaltzugfestigkeit (5 %-Quantil), die der Dimensionierung zugrunde gelegt wurde

– f_ctk.core(BT) = Charakteristische Spaltzugfestigkeit (5 %-Quantil), die am Bauteil/Bauwerk Straße ermittelt wurde

Bedingung 1: fctk.core(DIM) ≤ fctk.core(BT)          (6)

Als Bedingung 2 ist ein Deckendickenvergleich zu führen, wobei:

– h(DIM) = Charakteristische Deckendicke (10 %-Quantil), die der Dimensionierung zugrunde gelegt wurde

– h(BT) = Charakteristische Deckendicke (10 %-Quantil), die am Bauteil/Bauwerk Straße ermittelt wurde

Bedingung 2: h(DIM) ≤ h(BT)          (7)

Wenn Bedingung 1 und Bedingung 2 erfüllt sind, erübrigt sich eine weitere Nachweisführung.

Der Bauvertrag ist aus Sicht der Dimensionierung erfüllt, wobei zu beachten ist, dass die anderen Einflussgrößen (Art der Unterlage, die Plattengeometrie, die Verankerung und Verdübelung etc.) wie gehabt den Anforderungen der (ZTV Beton-StB 07, FGSV) genügen müssen.

Wenn eine der beiden Bedingungen nicht direkt erfüllt wird, gibt es die Möglichkeit der Nachberechnung. Gegebenenfalls ist in einem weiteren Schritt die Berechnung zur Abschätzung der Nutzungsdauer auf der Grundlage des Verfahrens nach den (RDO Beton 09, FGSV) vorzunehmen.

Bei Nichteinhaltung der vertraglich vereinbarten Nutzungsdauer kommt eine Abzugsregel nach den o. g. Empfehlungen zum Einsatz. 

5 Beispielfälle nach RDO Beton

Das Bild 9 zeigt ein Beispiel, dessen Stichprobe mit n=65 Bohrkernen im Bereich eines normalen Deckenbauloses für eine Richtungsfahrbahn einer Autobahn liegt. Während die Bedingung 1 erfüllt wurde, konnte die Bedingung 2 mit dieser Stichprobe nicht nachgewiesen werden, so dass eine Nachrechnung erforderlich wurde. Die Nachberechnung erfolgte mit der Software AWDSTAKO Version 1.6, die das Verfahren nach den (RDO Beton 09, FGSV) abbildet. In Ansatz kamen gleiche Randbedingungen wie zuvor bei der Dimensionierung, jedoch mit der in situ erreichten höheren charakteristischen Spaltzugfestigkeit. Demzufolge wird eine geringere charakteristische Deckendicke benötigt, so dass für diesen Fall die Nachweisführung durch die Nachrechnung mit beiden Bedingungen dennoch erfüllt werden konnte.

Bild 9: Beispiel 1 – Ausgleich des Dickendefizits durch erhöhte Spaltzugfestigkeit

Das zweite Beispiel soll zeigen, dass es unter Umständen zielführend sein kann, die Stichprobenanzahl zu erhöhen, wenn die Bedingungen 1 und 2 in einem ersten Schritt knapp nicht erfüllt wurden. Zur Verdeutlichung zeigt das Bild 10 den Zusammenhang zwischen Stichprobenumfang und charakteristischer Spaltzugfestigkeit bei angenommener gleicher Häufigkeitsverteilung (Mittelwert und Standardabweichung werden konstant gesetzt).

Bild 10: Zusammenhang zwischen Stichprobenumfang und Ergebnis der Quantilschätzung

Im Bild 11 zeigt das zweite Beispiel, ebenfalls basierend auf einer Stichprobe von n=65, dass sowohl der Festigkeits-, als auch der Dickennachweis knapp verfehlt wurden. Eine einfache Nachrechnung, wie im Beispiel 1 gezeigt, würde also in diesem Fall nicht zielführend sein. Daher wurde der Stichprobenumfang der Kontrollprüfung auf n=130 verdoppelt. Im dargestellten Fall konnte rechnerisch die charakteristische Spaltzugfestigkeit auf 3,8 N/mm² verbessert werden und entsprach dann dem der Dimensionierung zugrunde gelegten Wert. Die charakteristische Deckendicke hat sich durch die Erhöhung des Stichprobenumfangs ebenfalls verbessert, so dass auch dieser Wert im Beispiel über dem der Dimensionierung liegt. Grundsätzlich ist zu betonen, dass ein größerer Stichprobenumfang die realen Häufigkeitsverteilungen exakter als eine kleinere Stichprobe beschreibt, so dass die Vertragsparteien mit einer Erhöhung des Stichprobenumfangs einverstanden sein können.

Bild 11: Beispiel 2 – Ausgleich der Defizite durch erhöhte Probenzahl 

6 Statistische Überlagerung der Verteilungen von Betonfestigkeit und der Deckendicke

Im Gegensatz zu der deterministischen Verfahrensweise, die die Eingangsgrößen in die Dimensionierung als konstante Größen behandelt, berücksichtigt die semiprobabilistische Verfahrensweise die Eingangsgrößen mit ihren einzelnen Häufigkeitsverteilungen.

Das Bild 12 zeigt, dass an diskreten Punkten nicht nur die Plattendicke unterschiedlich sein kann, sondern auch an jeder einzelnen Stelle unterschiedliche Festigkeiten auftreten können.

Bild 12: Modell – probabilistisch

Bei Anwendung der probabilistischen Verfahrensweise ist möglich, die Verteilungen von Festigkeit und Dicke zu überlagern und so alle möglichen Kombinationsfälle zu berücksichtigen. Für die mathematische Lösung stehen verschiedene Möglichkeiten zur Verfügung:

– Exakte Lösung                    (Integration über den Versagensbereich)

– Näherungslösungen            (z. B. FORM-Algorithmus)

– Simulationslösungen           (z. B. Monte-Carlo-Methode).

In (Villaret et al. 2007) und (Villaret et al. 2011) wurde die exakte Lösung durch Integration über den Versagensbereich gewählt. Der mathematische Zusammenhang lässt sich wie folgt herleiten:

Eine Betonplatte versagt, wenn die durch die Einwirkungen hervorgerufenen Zugspannungen (σ) die Zugfestigkeit des Betons überschreiten (Zur besseren Lesbarkeit der Formeln wird die Zugfestigkeit hier mit R bezeichnet.). Die Spannung ist von der Dicke der Betonplatte (h) abhängig, kann also als Funktion der Deckendicke (g(h)) aufgefasst werden. Die Funktion g(h) ergibt sich aus den Formeln zur Berechnung der Betonspannung (siehe RDO Beton 09, FGSV). Für den Versagensfall gilt also:

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R – Betonfestigkeit

σ – durch Einwirkungen erzeugte Spannung als Funktion der Deckendicke h

Sind die Streuungen von Dicke und Festigkeit über ihre jeweiligen Verteilungsfunktionen bekannt, so kann die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten beider Ereignisse beschrieben werden als:

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p_f – infinitesimale Wahrscheinlichkeit für ein Versagen bei einer Spannung mit der Größe σ = g(h)

f_σ – Dichtefunktion der Spannung

F_R – Verteilungsfunktion der Festigkeit

Weiter gilt:

Formeln im PDF

Aus der Definition der Verteilungsfunktion ergibt sich:

Formeln im PDF

Durch Einsetzen der Gleichungen 10 und 11 in Gleichung 9 erhält man:

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bzw.:

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Diese Formel beschreibt die infinitesimale Wahrscheinlichkeit für das Versagen einer Platte mit einer bestimmten Dicke mit dem Wert h. Um alle möglichen Werte von h zu berücksichtigen sind die entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten aufzusummieren. Für stetige Verteilungsfunktionen ergibt sich als Grenzwert der Summe das Integral:

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Die für praktische Berechnungen anzusetzenden Integrationsgrenzen sind nach numerischen Gesichtspunkten festzulegen.

Das durch Gleichung 14 beschriebene Faltungsintegral kann wie im Bild 13 zu sehen, anschaulich dargestellt werden. Die Grenzfunktion ist als g(X) bezeichnet und grenzt den Versagensbereich (rote Fläche) ab.

Bild 13: Faltungsintegral mit Versagensbereich

Diese mathematische Lösung ist exakt und einfach sowie universell anwendbar. Es gibt keinerlei Restriktionen hinsichtlich der Verteilungsfunktionen und der Struktur der Grenzzustandsfunktion. Für n Zufallsgrößen ergibt sich ein n-faches Integral. Das Faltungsintergral kann als Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten aller Versagensfälle interpretiert werden.

7 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen

Mit Hilfe der vorgestellten Verfahren sind wir bereits heute in der Lage, dauerhafte Betondecken gezielt zu dimensionieren und herzustellen. Dabei können die enorm gestiegenen Belastungen aus Verkehr und Witterung und ihre Prognosewerte hinreichend genau berücksichtigt werden.

Die Interaktion zwischen Betonfestigkeit und Deckendicke hat einen maßgebenden Einfluss auf die Dauerhaftigkeit der Betondecke. Da es sich bei beiden Kenngrößen in der Praxis um streuende Werte handelt, ist eine statistische Betrachtung erforderlich.

Bei Anwendung des Verfahrens nach (RDO Beton 09, FGSV) werden deshalb beide Werte statistisch mit einer Gaußschen Normalverteilung angenähert. Für die Betonfestigkeit wird bei der rechnerischen Dimensionierung der untere 5 %-Quantilwert der Spaltzugfestigkeit zugrunde gelegt. Die ermittelte Deckendicke wird beim 10 %-Quantilwert abgesichert. Bei Unterschreitungen des einzuhaltenden Quantilwertes im Praxisfall darf mit den Werten der Eigenüberwachung und/oder Kontrollprüfung nachgerechnet werden. Dabei steht auch die Möglichkeit offen, die Zahl der Stichprobe zu erhöhen.

Weitergehende Forschungen ergaben die Möglichkeit, probabilistisch zu rechnen. Dabei werden die ermittelten Verteilungsfunktionen von Betonfestigkeit und Deckendicke durch Integration über den Versagensbereich vollständig berücksichtigt. Auf diese Weise eröffnen sich neue Präzisierungsmöglichkeiten. 

Literaturverzeichnis

Forschungsgesellschaft für Straßen- und Verkehrswesen (2011): Arbeitsanleitung zur statistischen Dickenauswertung von Asphalt- und Betonschichten für rechnerisch dimensionierte Verkehrsflächen (AL-DA 11), Ausgabe 2011, Köln, FGSV 429

Forschungsgesellschaft für Straßen- und Verkehrswesen (2006): Arbeitsanleitung zur Bestimmung der charakteristischen Spaltzugfestigkeit an Zylinderscheiben als Eingangsgröße in die Bemessung von Betondecken für Straßenverkehrsflächen (AL Sp-Beton), Ausgabe 2006, Köln, FGSV 410

Forschungsgesellschaft für Straßen- und Verkehrswesen (2011): Empfehlungen für die Abwicklung von Bauverträgen bei Anwendung der RDO Beton, Ausgabe 2011, Köln, FGSV 867

Forschungsgesellschaft für Straßen- und Verkehrswesen (2009): Richtlinien für die rechnerische Dimensionierung von Betondecken im Oberbau von Verkehrsflächen (RDO Beton 09), Ausgabe 2009, Köln, FGSV 497

Forschungsgesellschaft für Straßen- und Verkehrswesen (2007): Zusätzlich Technische Vertragsbedingungen und Richtlinien für den Bau von Tragschichten mit hydraulischen Bindemitteln und Fahrbahndecken aus Beton (ZTV Beton-StB 07), Ausgabe 2007, Köln, FGSV 899

Villaret; Kayser; Kiehne; Pfeifer; Riwe (2007): Weiterentwicklung der Bemessungsmethoden für Verkehrsflächen – Teil Betonstraßen, Forschung Straßenbau und Straßenverkehrstechnik, Heft 976, Bonn, 2007

Villaret; Kayser; Kiehne; Pfeifer; Riwe (2010): Grundlagen zur Erfassung der Belastung für die analytische Dimensionierung von Straßenbefestigungen – Teil Betonstraßen, Forschung Straßenbau und Straßenverkehrstechnik, Heft 1050, Bonn, 2010

Villaret; Kiehne; Riwe (2011): Probabilistische Verfahrensweisen für die Dimensionierung von Fahrbahnbefestigungen, Forschungsbericht BASt 2011 (FE 4.0218/2008/ARB, unveröffentlicht)